Soal dan Pembahasan Ujian Nasional tentang Barisan Aritmatika



Pada Kesempatan ini, ID-KU akan memaparkan kumpulan soal-soal ujian nasional matematika tentang barisan dan deret aritmatika yang dilengkapi dengan pembahasannya.

Soal dan Pembahasan
① UN Matematika Tahun 2005
Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah...
A.   Rp1.315.000,00
B.   Rp1.320.000,00
C.   Rp2.040.000,00
D.   Rp2.580.000,00
E.   Rp2.640.000,00
Pembahasan:
➧ Suku Pertama (a) = 50 (dalam ribuan)
➧ Beda (b) = 5 (dalam ribuan)
➧ Besar tabungan dalam 2 tahun (24 bulan)
   Sn = n/₂ (2a a + (n - 1)b)
   Sn = ²⁴/₂ (2(50) + (24 - 1)5)
   Sn = 12 (100 + (23)5)
   Sn = 12 (100 + 115)
   Sn = 12 (215)
   Sn = 2.580
Jadi, besar tabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah Rp.2.580.000,00
(Jawaban: D)

② UN Matematika Tahun 2006
Seorang ibu mempunyai 5 orang anak yang usianya membentuk suatu barisan aritmatika. Jika sekarang usia si bungsu 15 tahun dan si sulung 23 tahun, maka jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang adalah...
A. 95 tahun
B. 105 tahun
C. 110 tahun
D. 140 tahun
E. 145 tahun
Pembahasan:
➧ Usia si Bungsu 15 tahun
   10 Tahun kemudian (U₁) = 15 + 10 = 25 Tahun
➧ Usia si Sulung 23 tahun
   10 Tahun kemudian (U₅) = 23 + 10 = 33 Tahun
➧ Jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang (S₁₀)
    Sn = n/₂ (a + Un)
    S₅ = ⁵/₂ (25 + 33)
    S₅ = ⁵/₂ (58)
    S₅ = 145
Jadi, jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang adalah 145 tahun
(Jawaban: D)

③ UN Matematika Tahun 2007
Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah...
A.   840
B.   660
C.   640
D.   630
E.   315
Pembahasan:
Un = a + (n - 1)b
 ➧ U₃ = 36
    a + 2b = 36
    a = 36 - 2b  .............(1)
➧ U₅ + U₇ = 144
   (a + 4b) + (a + 6b) = 144
   2a + 10b = 144
   a + 5b = 72  .............(2)
➧ Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh:
   (36 - 2b) + 5b = 72
   36 + 3b = 72
   3b = 72 - 36
   3b = 36
   b = 12
➧ Subtitusi nilai b = 12 ke persamaan (1) diperoleh:
   a = 36 - 2(12)
   a = 36 - 24
   a = 12
➧ Jumlah sepuluh suku pertama (S₁₀)
   S₁₀ = ¹⁰/₂ (2(12) + (10 - 1)12)
   S₁₀ = 5(24 + (9)12)
   S₁₀ = 5(24 + 108)
   S₁₀ = 5(132)
   S₁₀ = 660
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 660
(Jawaban: B)

④ UN Matematika Tahun 2009
Diketahui suatu barisan aritmatika dengan U₃ + U₉ + U₁₁ = 75. Suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43, maka U₄₃ = ...
A.   218
B.   208
C.   134
D.   132
E.   131
Pembahasan:
Un = a + (n - 1)b
U₃ = a + 2b
U₉ = a + 8b
U₁₁ = a + 10b
➧ U₃ + U₉ + U₁₁ = 75
   (a + 2b) + (a + 8b) + (a + 10b) = 75
   3a + 20b = 75 ...........(1)
➧ Karena banyak suku barisan tersebut 43, maka:
   Suku tengah = suku ke (43 + 1)/2
                        = suku ke 22
   U₂₂ = 68
   a + 21b = 68
   3a + 63b = 204
   3a = 204 - 63b ........(2)
 ➧ Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh:
   (204 - 63b) + 20b = 75
   204 - 43b = 75
   43b = 204 - 75
   43b = 129
       b = 3
➧ Subtitusi nilai b = 3 ke persamaan (1) diperoleh:
   3a + 20(3) = 75
   3a + 60 = 75
   3a = 75 - 60
   3a = 15
   a = 5
➧ Suku ke 43
   U₄₃ = a + 42b
          = 5 + 42(3)
          = 5 + 126
          = 131
Jadi, U₄₃ adalah 131
(Jawaban: E)


⑤ UN Matematika Tahun 2010
Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku ke-n. Jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165, maka U₁₉ = ...
A.   10
B.   19
C.   28,5
D.   55
E.   82,5
Pembahasan:
Un = a + (n - 1)b
U₂ = a + b
U₁₅ = a + 14b
U₄₀ = a + 39b
U₁₉ = a + 18b
➧ U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165
   (a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165
   3a + 54b = 165
   3(a + 18b) = 165
   3(U₁₉) = 165
   U₁₉ = 55
Jadi, U₁₉ = 55
(Jawaban: D)

Sekian postingan "Soal dan Pembahasan Ujian Nasional tentang Barisan Aritmatika" kali ini mudah-mudahan membantu sobat pelajar semua dalam menyelesaikan soal-soal ujian nasional dengan materi barisan dan deret aritmatika.

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel